Bueno descartar la batería es tan sencillo como gastarse 100 euros en una nueva. Descartar el alternador es más complicado puesto que habría que hacer una medición de la componente de alterna del alternador por si hay algún diodo "chungo",
Lo normal es que si hay algún diodo mal, la tensión no alcance los valores de carga, o sea que difícilmente alcanzará los 13 voltios pero, en el caso de una avería más sutil, la forma seria usar un osciloscopio para ver si falta alguna onda y en modo más casero tomar una medida de componente de alterna con el tester. Es decir medir la tensión de salida del generador pero midiendo en la escala de voltaje de alterna. La medida no debe llegar al medio voltio.
De todos modos, no creo que las cosas vayan por ahí, pero lo que se dice asegurarlo, no lo puedo asegurar, yo creo que hay algún conector haciendo de las suyas por mal contacto.
¡Ah1 se me olvidaba. Habría que asegurar la unión de masa entre el alternador, el chasis y el motor, revisando las conexiones o mejor aun tirando un nuevo cable que una, negativo de batería con bloque motor y bastidor.